L’equilibrio perfetto di Nash nei sottogiochi
John Nash
Premessa
In questo articolo tratteremo di una variante dell’equilibrio di Nash: il caso dell’equilibrio perfetto nei sottogiochi (subgame perfect equilibrium).
Cos’è l’equilibrio di Nash?
L’equilibrio di Nash è una combinazione di mosse (tecnicamente “profilo di strategie”) per la quale nessun giocatore riceve un beneficio maggiore nel variare la propria scelta. Esso prende il nome dal matematico ed economista John Nash ed è probabilmente il tipo di equilibrio più conosciuto di tutta la Teoria dei giochi. Nash sviluppò questo concetto durante i suoi anni a Princeton, unendo concetti di Matematica pura ad altri riguardanti le scelte ottime nei giochi.
Nash dimostrò che, date certe condizioni, esiste sempre un equilibrio nel quale ciascun giocatore deciderà la sua mossa indipendentemente da quella dell’avversario e non la varierebbe nemmeno se conoscesse quest’ultima.
Un esempio
Riprendiamo un vecchio esempio e il metodo con cui si può trovare l’equilibrio.
- in verde le possibili mosse dei giocatori
- in rosso e in blu i payoff dei due giocatori a seconda della mossa eseguita
Come trovare l’equilibrio
Confrontiamo i vari payoff in relazione alle mosse e contromosse.
A è la best response di RED in qualunque situazione mentre la contromossa più efficace di BLUE, quando RED gioca A è D. Abbiamo quindi un equilibrio dato da (A, D).
L’equilibrio perfetto nei sottogiochi
Partiamo dalla definizione: un equilibrio perfetto nei sottogiochi è un equilibrio di Nash che è retto da una minaccia credibile. Come nel gioco del pollo, anche qui abbiamo un equilibrio “instabile”. Infatti, in questa variante, infatti, abbiamo un gioco dove sono presenti due equilibri di Nash, di cui uno non probabile in quanto basato su una minaccia non credibile. Si pone un’altra domanda…
…cos’è un sottogioco?
I sottogiochi sono parte di un gioco più grande e vengono fatti partire da dei “nodi”. Immaginando una configurazione ad albero (come quelle dei raggruppamenti quando si parla di cluster ecc), questo si scinde e nascono due possibili vie e proseguendo per quella che consente il playoff maggiore. Ogni nodo può genere un subgame a condizione che il giocatore conosca l’intera storia dei giochi precedenti.
Strategie e azioni: qualche definizione
La strategia di un giocatore è qualunque mossa che esso compie, dove l’outcome dipende non solo dall’azione del giocatore ma anche da quella dell’avversario. Dalle strategie dipendono le azioni poiché esse sono i “pezzi” delle strategie. Banalizzando, se la mia strategia è di prendere l’autobus, allora la mia azione sarà di recarmi alla fermata e così via.
Nash e i sottogiochi
Finora abbiamo parlato di equilibrio perfetto nei sottogiochi quindi ora passiamo al “livello” successivo. Diamo una definizione di equilibrio perfetto di Nash nei sottogiochi. Un equilibrio β è di questo tipo, se le strategie specificate per esso costituiscono un equilibrio di Nash in ogni sottogioco.
Esempio
Facciamo un esempio di equilibrio perfetto di Nash nei sottogiochi, utilizzando l’esempio dell’immagine precedente ed ampliandolo.
Inizialmente, A ha a disposizione due possibili mosse: andare a sinistra o a destra. Nel primo caso, A riceve un payoff di 1, B guadagna 5 e il gioco termina. Se invece sceglie di andare a destra, la palla passa a B. Ora la scelta è tra andare su o giù: nel primo caso, entrambi guadagnano 3 mentre nel secondo solo B guadagna.
I due equilibri di Nash
Nella situazione dell’esempio, abbiamo due equilibri di Nash ovvero
- A va a destra e successivamente B va su
- A va a sinistra, sotto la minaccia di B di andare giù
La minaccia non credibile
Il secondo equilibrio è quello retto da una minaccia non credibile. Vediamo punto per punto le mosse:
- A dichiara di voler andare a sinistra (guadagnando 1) in risposta a qualsialsi mossa minacciata da B
- B minaccia di andare giù se A andrà a destra
Se A è convinto che la minaccia di B di andare giù sia seria, allora non gli darà mai la possibilità di muoversi e chiuderà il gioco andando a sinistra. Il guadagno è solo di 1 ma comunque sempre meglio del niente che avrebbe nel caso si verificasse Destra ⇒ Giù. Detto questo, la minaccia di B non è credibile perché nel caso possa muoversi, preferirebbe ricevere 3 piuttosto che 2.
Alla fine della fiera, nell’esempio l’equilibrio perfetto di Nash nei sottogiochi è quello dato da Destra ⇒ Su.