Il modello di Solow

Il modello di Solow, conosciuto anche come modello di Solow-Swan, prende il nome dai due economisti Robert Solow e Trevor Swan che diedero vita a questo famosissimo modello nel 1956. Purtroppo però la storia consegna alla Storia dei nobel solo il primo dei due. Questo perché il complicato modello venne sviluppato in maniera indipendente dai due economisti che lavorarono duramente. Purtroppo per il povero Swan, Solow arrivò alle sue conclusioni nel Febbraio del 1956 mentre il nostro solo a Novembre. Un peccato per il Nobel, ma Solow riconobbe il duro lavoro del collega e diede al suo modello il nome di entrambi.

Lo sviluppo

Il modello di Solow-Swan è la base per iniziare a masticare di crescita economica. Per capire ovvero i motivi per cui uno Stato o, ancora meglio, un aggregato economico, cresce nel tempo. Per “aggregato economico” intendo dire cioè un ente che produce ricchezza (Y) sulla base di certi input, che possono essere ad esempio Capitale (K) e Lavoro (N) (possiamo ricordarci N usando la nozione di “Numero di lavoratori”, se vi piace).

Ciò che c’è da capire bene del modello di Solow-Swan è che si lavora nel continuo. Quindi in ogni equazione presente i fattori che possono, diciamo, “muoversi” e quindi cambiare nel tempo sono contraddistinti da un (t). Quindi ad esempio avremo Y(t). Ora bando alle ciance, iniziamo.

Inizio del modello

Iniziamo subito con una precisazione: il modello che ci proponiamo di indagare è senza progresso tecnologico, che cresce ad un tasso fisso A. Il progresso tecnologico però avrà un ruolo IMPORTANTISSIMO nel finale. Inoltre analizzeremo il caso più famoso, considerando una linea continua del tempo. Per chi volesse, il modello può essere trasformato nel discreto usando semplici equazioni alle differenze.

Supponiamo di avere una funzione di produzione per produrre un singolo bene uniforme del tipo Cobb-Douglas quindi con ritorni costanti di scala. Una funzione si dice con ritorni costanti di scala quando, all’aumentare dei parametri di un fattore, diciamo x (ma spesso si usa λ), la funzione cresce di x. Esempio con Cobb-Douglas:

Y(K,N)=K^aN^1-a

Dobbiamo avere la seguente equivalenza: Y(X*K,X*L)=X*Y(K,L). Dimostriamola:

X*Y=X^a*K^aX^1-a*N^1-a

X*Y=X^a+1-a*K^a*N^1-a

X*Y=X*(K^a*L^1-a)

L’equivalenza regge quindi la Cobb-Douglas mostrerà, per via dei suoi esponenti uno complementare dell’altro, sempre rendimenti di scala costanti.

Dunque, prendiamo la nostra Cobb-Douglas cambiando qualche termine e trasformiamola nel tempo:

Y(t)=K(t)^aN(t)^1-a

e aggiungiamoci un’altra bella equazione che tutti dovremmo sapere:

Y=C+I+G+NX

In questo caso però supponiamo nessun intervento pubblico e nessun Import-Export:

Y=C+I.

Da qui derivano le conseguenti: C=Y-I e I=Y-C.

Ma Y-C, se presente e positivo, è il risparmio. Cioè produzione meno consumo. Quindi: I=s*Y, ponendo il risparmio tasso della produzione.

Ora un po’ di equazioni differenziali

Siamo già a buon punto. Abbiamo le equazioni base del nostro modello. Ciò che manca è la dinamica nel tempo che possiamo conferire solo con la presenza di una equazione differenziale. L’unica che possiamo introdurre, che è anche la più semplice è la seguente:

K'(t)=Y(t)-C(t)-δK,

Dove delta è il fattore di deprezzamento del capitale. Quindi la nostra equazione differenziale ci dice che nel corso del tempo il Capitale cambia secondo il consumo (giustamente, se consumi devi pagare) e il tasso naturale di deprezzamento (impropriamente possiamo chiamare questo tasso “inflazione”, anche se non è così. Come ben sappiamo, l’inflazione riguarda il tasso di cambi dei prezzi. Può essere tra l’altro ben rappresentato da una equazione differenziale: P'(t)/P(t)).

Un piccolo excursus: per equazione differenziale intendo un equazione che rappresenti la crescita di ciò che stiamo analizzando.

Derivazione dei livelli di ottimo

Ora finalmente possiamo giocare.

Le nostre equazioni saranno di più facile utilizzo se, invece di usare i fattori assoluti, li manipoliamo in maniera tale da avere i livelli pro capite. Come fare?

Nulla di più semplice: abbiamo detto all’inizio che N rappresenta il numero di lavoratori. Bene, occorre semplicemente dividere tutto per N. Così avremo, ponendo con le lettere minuscole k e y i rapporti di K e Y rispetto a N:

• Y=K^aN^1-a

• Y/N=(K^aN^1-a)/N

• y=K^aN^1-a-1=K^aN^-a

• y=k^a

e, per l’equazione differenziale, ponendo c=C/L:

K'(t)/N=y-c-δk

Svolgiamo ora la derivata rispetto al tempo di k:

k’=K’N/N*N – KN’/N*N =K’/N – k*Gn.

Dove Gn è tasso di crescita del personale di lavoro, ossia proprio il tasso N’/N.

Quindi K’/N=k’+kGn.

k’ = y – c – k*(δ+Gn)

O, ancora meglio: k’ = s*Y – k*(δ+Gn)

Qui è nella foto possiamo vedere bene lo sviluppo dinamico. Le frecce blu indicano infatti la convergenza al punto di steady-state. La curva verde fa vedere la curva del risparmio, dove sigma è il nostro s, e la ovvia differenza fra y ed s è c. La retta rossa è, all’equilibrio, la linea del capitale.

Derivazioni finali

Da qui ometteremo dei calcoli ma, ponendo k’=0 raggiungeremo il livello di equilibrio (steady-state) e avremo i livelli desiderati di capitale che sarà k = (s/Gn+δ)^(1/1+a).

Sostituendo avremo anche i livelli di y e c. Una condizione particolare di questo modello è che, all’equilibrio, il tasso di risparmio s sarà uguale all’esponente a della Cobb-Douglas.

Conclusione

Ora che abbiamo finito la grande analisi del modello Solow-Swan, possiamo dire con certezza che l’unica cosa che garantisca una vera crescita nel tempo è proprio il progresso tecnologico, che all’inizio del nostro modello abbiamo messo come costante esogena.

Il modello ci dice anche che Paesi con meno capitale cresceranno a ritmi più sostenuti degli altri.