Come variano gli interessi maturati a seconda di quanto spesso vengono accreditati: l’intuito di Bernoulli

Il numero e di Eulero (o di Nepero), base dei logaritmi naturali, comparve per la prima volta nel XVII secolo, quando il matematico svizzero Jacob Bernoulli stava indagando sull’interesse composto e intendeva comprendere come varia l’ammontare degli interessi maturati alla fine di un anno a seconda di quanto spesso viene accreditato l’interesse. In altre parole, Bernoulli voleva capire in che modo l’intervallo di capitalizzazione incidesse sul valore del deposito.

L’idea di Bernoulli sugli interessi maturati

A intuito, sembrerebbe che più capitalizziamo più possiamo ricavarne, e in effetti è così, dal momento che il denaro passa più tempo a “lavorare” per noi. Ma seguiamo il calcolo passo a passo, scoprendo l’interessante schema che ne risulta.

Supponiamo, per semplicità, che la banca paghi un tasso speciale del 100 per cento annuo su un investimento iniziale di 1 euro (o sterlina o dollaro). L’interesse viene sommato al conto alla fine di periodi di tempo fissi, e alla fine del periodo successivo gli interessi vengono calcolati sul nuovo totale. Se la banca decide di pagare gli interessi solo una volta all’anno, alla fine di quest’ultimo riceveremo 1 euro in interessi, ritrovandoci con 2 euro (non c’è più tempo per maturare ulteriori interessi sugli interessi).

Se, invece, la banca decide di pagarci ogni sei mesi, dopo mezzo anno essa calcola gli interessi dovuti utilizzando la metà del tasso annuo (cioè il 50%) e pertanto ci ritroviamo sul conto 1,50 euro. La medesima procedura viene ripetuta alla fine dell’anno, pagando il 50% di interessi su 1,50 euro, il che porta ad un totale di 2,25 euro alla fine dell’anno.

Quindi, capitalizzando ogni sei mesi otteniamo 25 centesimi in più. Accreditando gli interessi più spesso, aumenta il saldo alla fine dell’anno. Per esempio, un accredito trimestrale (un tasso del 25% pagato ogni tre mesi) porta a circa 2,441 euro, uno mensile a 2,613 euro. Se il tasso d’interesse è 1/365 del 100% e ci sono 365 pagamenti giornalieri, il deposito salirà a 2,714 euro.

Bernoulli riuscì a dimostrare che, con un accredito continuo (cioè calcolando e accumulando gli interessi infinitamente spesso, ma ad un tasso infinitamente basso), la quantità di denaro a fine anno raggiungerà un massimo di circa 2,72 euro. Più precisamente, alla fine dell’anno avremmo esattamente e=2,718281828… euro.

Se dividiamo il tasso percentuale annuo per n e lo capitalizziamo n volte, il saldo in euro alla fine dell’anno è (1+1/n)^n. Bernoulli si chiedeva che cosa succede a questo termine man mano che n tende a infinito. Sembra quasi un tiro alla fune lungo l’asse orizzontale di un grafico. Man mano che n aumenta, (1+1/n) diventa più piccolo, “tirando” il termine verso sinistra. D’altra parte, l’esponente n “tira” il termine a destra. All’inizio della gara è l’esponente ad avere la meglio, perché il termine aumenta, da 2 a 2,25 a 2,613 a 2,714. Ma se n si avvicina all’infinito, il tiro alla fune raggiunge l’equilibrio. Il termine tende ad e, il numero di Eulero.

A cura del prof. Vincenzo Giordano.