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Il prezzo di un’obbligazione con l’approccio del valore attuale

Un obbligazione è un titolo di credito attraverso cui una società o un ente pubblico ottengono dei prestiti di liquidità (prestiti obbligazionari). Ciò avviene quando l’importo del finanziamento è troppo elevato o quando un determinato creditore non si vuole fare carico del rischio correlato al prestito. In questi casi, il debito viene frazionato in suddetti titoli obbligazionari.

Questi strumenti appartengono alla famiglia dei fixed-income, vale a dire che garantiscono al compratore un flusso di cassa in entrata di ammontare fissato in epoche prestabilite. Perciò, il rischio finanziario collegato all’acquisto di bond è generalmente inferiore rispetto a quello di un investimento nel mercato azionario, essendo che l’obbligazione non è soggetta a quotazione.

Tuttavia, l’acquisto di questi titoli di debito non è esente da rischio, infatti il default dell’ente o della società emittente comporterebbe il default del cashflow. Ulteriormente, il problema dell’inflazione potrebbe portare alla perdita di valore del flusso in entrata per il compratore.

Vi sono vari tipi di obbligazioni, ma la classificazione principale distingue quelle che prevedono il pagamento di cedole e quelle che non lo predispongono. Le cedole, o coupon, corrispondono a dei versamenti periodici, solitamente annuali o semestrali, effettuati al compratore dall’emittente a titolo di interesse. Gli zero coupon bond, invece, prevedono il pagamento degli interessi alla scadenza unitamente al valore nominale dell’obbligazione.

Prezzare un’obbligazione

Prezzare un’obbligazione significa determinarne il giusto prezzo. Il cosiddetto fair value è definito come il valore attuale dei flussi di cassa che il titolo di debito genera, perciò:

Prezzo di un titolo di debito che paga cedole.
Formula del prezzo di uno ZCB.

F: il valore nominale del bond, anche detto valore facciale.

c: il tasso di rendimento cedolare. Se le cedole sono semestrali il tasso diventa c/2.

Fc: il valore della cedola.

N: il numero dei pagamenti.

t: il periodo in cui il titolo è detenuto.

i: il tasso di rendimento del mercato, anche chiamato yield to maturity (ytm), ossia l’appropriato tasso di rendimento alla scadenza. In altre parole corrisponde al tasso interno ottenuto da un operatore che acquista un’obbligazione in un’epoca t e mantiene il possesso fino t=N. Può essere inteso anche come il tasso di attualizzazione che conferisce il prezzo P al titolo.

C: il valore di rimborso alla scadenza, solitamente coincide con il valore facciale.

Bisogna specificare che quello del valore atteso è solamente uno dei vari approcci utili al prezzamento dei titoli obbligazionari. Ve ne sono altri, quali, ad esempio, il metodo di non-arbitraggio e quello del calcolo stocastico. Tuttavia, questo può essere considerato il più basilare.

Il legame prezzo-rendimento

La derivata prima è minore di zero.

La derivata prima del prezzo P rispetto al tasso i suggerisce che P e i hanno una relazione inversa. In questo senso, al diminuire del prezzo il tasso di rendimento aumenta e viceversa.

La derivata seconda è maggiore di zero.

Tuttavia, il calcolo della derivata di second’ordine fa notare come P sia una funzione convessa di i. Questo implica che per una data diminuzione del tasso di mercato, il conseguente aumento del prezzo del titolo supera la diminuzione dello stesso ottenuta successivamente a un aumento del saggio di rendimento di pari entità.

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